7 hằng đẳng thức đáng nhớ, hệ quả và các dạng toán
7 hằng đẳng thức đáng nhớ và hệ quả cùng các dạng toán các em đã học trong chương trình Toán 8, Đại số. Đây là kiến thức khá quan trọng trong chương trình, liên quan đến nhiều dạng giải phương trình khác. Để hiểu rõ hơn những kiến thức cần nhớ, mời các bạn cùng tham khảo bài viết sau nhé!
I. LÝ THUYẾT VỀ 7 LÃNH ĐẠO TỈNH THỨC Đáng Nhớ
1. Bảy hằng đẳng thức đáng nhớ là gì?
Bảy hằng đẳng thức đáng nhớ là hằng đẳng thức cơ bản nhất mà học sinh chuyên toán nào cũng cần nắm vững. các đẳng thức được chứng minh bằng cách nhân đa thức với đa thức. Các hàng đẳng thức này nằm trong nhóm các hàng đẳng thức đại số sơ cấp, bên cạnh nhiều hàng đẳng thức khác.
Các hằng đẳng thức này được sử dụng thường xuyên trong các bài toán liên quan đến giải phương trình, nhân chia đa thức, biến đổi biểu thức ở cấp THCS và THPT. Thuộc lòng 7 hằng đẳng thức đáng nhớ giúp giải nhanh các bài toán nhân đa thức.
2. Bảy hằng đẳng thức đáng nhớ và hệ quả
Một. Bảy hằng đẳng thức đáng nhớ:
- Bình phương của một tổng:
Bình phương của một tổng bằng bình phương của số thứ nhất cộng hai lần tích của số thứ nhất nhân với số thứ hai, cộng với bình phương của số thứ hai - Bình phương của sự khác biệt:
Bình phương của hiệu bằng bình phương của số thứ nhất trừ đi hai lần tích của số thứ nhất nhân với số thứ hai rồi cộng với bình phương của số thứ hai. - Hiệu của hai hình vuông:
Hiệu giữa bình phương của hai số bằng tổng của hai số đó nhân với hiệu của hai số đó. - Lập phương của một tổng:
Lập phương của tổng hai số bằng lập phương của số thứ nhất cộng ba lần tích bình phương của số thứ nhất nhân với số thứ hai cộng ba lần tích của số thứ nhất nhân bình phương của số thứ hai cộng lập phương của thứ hai. - Khối lập phương của sự khác biệt:
Lập phương của hiệu của hai số bằng lập phương của số thứ nhất trừ ba lần tích bình phương của số thứ nhất nhân với số thứ hai cộng ba lần tích của số thứ nhất nhân với bình phương của số thứ hai trừ lập phương của số. Thứ hai - Tổng hai lập phương:
Tổng hai lập phương của hai số bằng tổng của hai số đó nhân với bình phương còn thiếu của hiệu - Sự khác biệt của hai khối lập phương:
Hiệu của hai lập phương của hai số bằng hiệu của hai số đó nhân với bình phương còn thiếu của tổng hai số đó.
b. Hậu quả của bình đẳng
Ngoài ra, ta có các hằng đẳng thức hệ quả của 7 hằng đẳng thức trên. Thường dùng khi biến đổi lượng giác để chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức, v.v.
Hệ quả với hằng đẳng thức cấp 2
Hệ quả với hằng đẳng thức cấp 3
hậu quả chung
3. Một số lưu ý về hằng đẳng thức đáng nhớ
+ Biến đổi hằng đẳng thức chủ yếu là cách biến đổi từ tổng, tích giữa các số, kĩ năng học đa thức thành nhân tử phải nắm vững để vận dụng hằng đẳng thức mới rõ ràng, chính xác.
+ Để hiểu được bản chất của việc sử dụng hằng đẳng thức, khi vận dụng vào bài toán, học sinh có thể chứng minh sự tồn tại của hằng đẳng thức là đúng bằng cách chuyển vế ngược lại, sử dụng hằng đẳng thức trong việc chứng minh bài toán.
+ Trong khi sử dụng hằng đẳng thức trong phân số đại số, học sinh lưu ý sẽ có nhiều cách làm biến dạng căn thức do tính chất của từng bài toán, nhưng bản chất vẫn là các căn thức trên, chỉ là biến đổi qua lại cho phù hợp với phép tính.
Ví dụ :
4. Mẹo ghi nhớ hằng đẳng thức nhanh
Nếu để ý, chúng ta có thể thấy các hằng đẳng thức 1 và 2, 4 và 5, 6 và 7 đều khá giống nhau, chỉ khác về dấu nên điều cần lưu ý ở đây là học thuộc dấu của chúng để chúng ta học thuộc. một cách chính xác và không nhầm lẫn.
Đối với các hằng đẳng thức 5 và 6, cần lưu ý rằng:
“Tổng các lập phương bằng tích của tổng hai số và bình phương còn thiếu của hiệu”
“Hiệu các lập phương bằng tích của hiệu hai số và bình phương còn thiếu của một tổng”
Ngoài ra, các bạn có thể sưu tầm thêm bài hát về “Bảy Nỗi Nhớ” do tác giả “Nhật Anh” sáng tác trên nền nhạc của bài hát “Sau Tất Cả”. Chắc chắn khi nghe bài hát này, các em vừa được thư giãn, vừa có thể ghi nhớ kiến thức một cách tự nhiên nhất mà không cảm thấy khô khan, khó hiểu.
Tuy nhiên tất cả cũng chỉ đóng góp một phần nhỏ, quan trọng nhất là bạn cần hiểu bản chất của nó và không ngừng luyện tập, luyện tập và làm bài thật chăm chỉ thì bạn sẽ dễ dàng ghi nhớ nó.
II. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
Dạng 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Ví dụ: Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = x2 – 2x + 5* Cách giải:– Ta có: A = x2 – 2x + 5 = (x2 – 2x + 1) + 4 = (x – 1)2 + 4– Vì (x – 1)2 ≥ 0 với mọi x.⇒ (x – 1)2 + 4 ≥ 4 hoặc A ≥ 4– Vậy giá trị nhỏ nhất của A = 4, kí “=” xảy ra khi : x – 1 = 0 hoặc x = 1⇒ Kết luận Giá trị của A là: Amin = 4 ⇔ x = 1 Dạng 2: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thứcVí dụ: Tính giá trị lớn nhất của biểu thức: A = 4x – x2* Giải:– Ta có: A = 4x – x2 = 4 – 4 + 4x – x2 = 4 – (4 – 4x + x2) = 4 – (x2 – 4x + 4) = 4 – (x – 2)2– Vì (x – 2)2 0 với mọi x ⇔ –(x – 2)2 0 với mọi x⇔ 4 – (x – 2)2 4 [cộng 2 vế với 4]⇔ A ≤ 4 Dấu “=” xảy ra khi: x – 2 = 0 hoặc x = 2⇒ Kết luận giá trị tài sản ròng của A là: Amax = 4 ⇔ x = 2.
Dạng 3: Tính giá trị của biểu thứcVí dụ: Tính giá trị của biểu thức: A = x2 – 4x + 4 tại x = -1* Giải.– Ta có: A = x2 – 4x + 4 = x2 – 2. x. 2 + 22 = (x – 2)2– Tại x = -1 : A = ((-1) – 2)2=(-3)2= 9⇒ Kết luận: Vậy tại x = -1 thì A = 9 Dạng 4 : Chứng minh biểu thức A không phụ thuộc vào biến Ví dụ: Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào x: A = (x – 1)2 + (x + 1)(3 – x)* Lời giải .– Ta có: A =(x – 1)2 + (x + 1)(3 – x) = x2 – 2x + 1 – x2 + 3x + 3 – x = 4 : hằng số không phụ thuộc vào biến x.
Dạng 5: Chứng minh đẳng thức Ví dụ: Chứng minh đẳng thức sau đúng: (a + b)3 – (a – b)3 = 2b(3a2 + b2)* Cách giải:– Với dạng toán này ta biến đổi VT = VP hay VT = A và VP = A– Ta có: VT = (a + b)3 – (a – b)3= (a3 + 3a2b + 3ab2 + b3) – (a3 – 3a2b + 3ab2 – b3)= a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 – a3 + 3a2b – 3ab2 + b3= 6a2b + 2b3= 2b(3a2 + b2) = VP (đpcm).⇒ Suy ra: (a + b)3 – ( a – b)3 = 2b (3a2 + b2)• Dạng 6: Chứng minh bất đẳng thức– Biến đổi bất phương trình về dạng biểu thức A ≥ 0 hoặc A ≤ 0. Sau đó dùng phép biến hình đưa A về A. 1 trong 7 hằng đẳng thức. Ví dụ: Chứng minh biểu thức B âm với mọi giá trị của biến x, biết: B = (2-x)(x-4)-2* Giải: – Ta có: B = (2-x)(x- 4) – 1 = 2x – 8 – x2 + 4x – 2 = -x2 + 6x – 9 – 1 = -(x2 – 6x + 9) – 1 = -(x- 3)2 – 1– Vì (x-3 )2 ≥ 0 ⇔ -(x-3)2 ≤ 0 ⇒ -(x-3)2 – 1 ≤ -1 < 0 với mọi x,
Dạng 7: Tìm giá trị của xVí dụ: Tìm giá trị của x biết: x2( x – 3) – 4x + 12 = 0* Giải.x2(x – 3) – 4x + 12 = 0⇔ x2(x –) 3 ) – 4(x – 3) = 0⇔ (x – 3)(x2 – 4) = 0⇔ (x – 3)(x – 2)(x + 2) = 0⇔ (x – 3) = 0 hoặc (x – 2) = 0 hoặc (x + 2) = 0⇔ x = 3 hoặc x = 2 hoặc x = –2⇒ Kết luận, vậy nghiệm: x = 3; x = 2; x = -2
Dạng 7: đa thức nhân tử
Ví dụ: nhân tử của đa thức sau: A = x2 – 4x + 4 – y2* Cách giải:– Ta có: A = x2 – 4x + 4 – y2 [để ý x2 – 4x + 4 có dạng hằng đẳng thức]= (x2 – 4x + 4) – y2 [nhóm hạng tử]= (x – 2)2 – y2 [xuất hiện đẳng thức số A2 – B2]= (x – 2 – y )( x – 2 + y)⇒ A = (x – 2 – y )( x – 2 + y)
III. BÀI TẬP VỀ CÂU CHUẨN ĐIỀU KIỆN
Bài 1: Tính nhanh
2. 29.9.30.1
4. 37,43
Bài 2: Rút gọn rồi tính giá trị của biểu thức
Bài 3: Chứng minh với mọi số nguyên N biểu thức 
Bài 4: Viết biểu thức sau dưới dạng tích
Bài 5. Viết biểu thức sau dưới dạng tích
Bài 6. Viết biểu thức sau dưới dạng tích
Bài 7. Viết biểu thức sau dưới dạng tổng
b..
Bài 8: Viết biểu thức sau thành tổng
b.
**** bài toán tăng đẳng thức (có đáp án)
Bài 1. Cho đa thức 2x² – 5x + 3 . Viết đa thức trên dưới dạng đa thức của biến y với y = x + 1.
Câu trả lời
Theo đề bài ta có: y = x + 1 => x = y – 1 .
A = 2x² – 5x + 3
= 2(y – 1)² – 5(y – 1) + 3 = 2(y² – 2y + 1) – 5y + 5 + 3 = 2y² – 9y + 10
Bài 2. Tính nhanh kết quả của các biểu thức sau:
a) 127² + 146.127 + 73²
b) 98.28– (184 – 1)(184 + 1)
c) 100² – 99² + 98² – 97² + …+ 2² – 1²
d) (20² + 18² + 16² +…+ 4² + 2²) – ( 19² + 17² + 15² +…+ 3² + 1²)
Câu trả lời
a) A = 127² + 146.127 + 73²
= 127² + 2,73.127 + 73²
= (127 + 73)²
= 200²
= 40000 .
b) B = 9 8 .2 8 – (18 4 – 1)(18 4 + 1)
= 188 – (188 – 1)
= 1
c) C = 100² – 99² + 98² – 97² + …+ 2² – 1²
= (100 + 99)(100 – 99) + (98 + 97)(98 – 97) +…+ (2 + 1)(2 – 1)
= 100 + 99 + 98 + 97 +… + 2 + 1
= 5050.
d) D = (20² + 18² + 16² +…+ 4² + 2²) – ( 19² + 17² + 15² +…+ 3² + 1²)
= (20² – 19²) + (18² – 17²) + (16² – 15²)+ …+ (4² – 3²) + (2² – 1²)
= (20 + 19)(20 – 19) + (18 + 17)(18 – 17) + (16 + 15)(16 – 15)+ … + (4 + 3)(4 – 3) + (2 + 1)(2 – 1)
= 20 + 19 + 18 + 17 + 16 +15 + … + 4 + 3 + 2 + 1
= 210
Bài 3. So sánh hai số sau, số nào lớn hơn?
a) A = (2 + 1)(22+1)(24+1)(28 + 1)(216 + 1) và B = 232
b) A = 1989,1991 và B = 19902
câu trả lời gợi ý
a) Ta nhân cả hai vế của A với 2 – 1 ta được:
A = (2 – 1)(2 + 1)(22 + 1)(24 + 1)(28 + 1)(216 + 1)
Chúng tôi áp dụng đẳng thức ( a- b)(a + b) = a² – b² nhiều lần, chúng tôi nhận được:
A = 232 – 1.
=> Vậy A < B.
b) Ta đặt 1990 = x => B = x²
Vậy A = (x – 1)(x + 1) = x² – 1
=> B > A là 1.
Bài 4. Chứng minh rằng:
a) a(a – 6) + 10 > 0.
b) (x – 3)(x – 5) + 4 > 0.
c) a² + a + 1 > 0.
Câu trả lời
a) VT = a² – 6a + 10 = (a – 3)² + 1 1
=> VT > 0
b) VT = x² – 8x + 19 = (x – 4)² + 3 3
=> VT > 0
c) a² + a + 1 = a² + 2.a.½ + ¼ + 3/4 = (a + ½ )² + 3/4 ≥ 3/4 >0.
Như vậy là các bạn vừa học được 7 hằng đẳng thức đáng nhớ cùng hệ quả và các dạng toán thường gặp. Hi vọng bài viết đã cung cấp thêm cho bạn những thông tin hữu ích. Xem thêm các chủ đề về tỷ lệ đánh thức tại liên kết này!
Bản quyền bài viết thuộc về trường THPT TP Sóc Trăng. Mọi sao chép đều là gian lận!
Nguồn chia sẻ: Trường Cmm.edu.vn (thptsoctrang.edu.vn)
Bạn thấy bài viết 7 hằng đẳng thức đáng nhớ và hệ quả cùng những dạng toán có khắc phục đươc vấn đề bạn tìm hiểu ko?, nếu ko hãy comment góp ý thêm về 7 hằng đẳng thức đáng nhớ và hệ quả cùng những dạng toán bên dưới để Trường THPT Nguyễn Quán Nho có thể thay đổi & cải thiện nội dung tốt hơn cho các bạn nhé! Cám ơn bạn đã ghé thăm Website: thptnguyenquannho.edu.vn của Trường THPT Nguyễn Quán Nho
Nhớ để nguồn bài viết này: 7 hằng đẳng thức đáng nhớ và hệ quả cùng những dạng toán của website thptnguyenquannho.edu.vn
Chuyên mục: Văn học