Các Bài Toán Tìm 2 Số Khi Biết Tổng Và Tích.

Bạn đang xem: Các Bài Toán Tìm 2 Số Khi Biết Tổng Và Tích. tại thptnguyenquannho.edu.vn

Phương trình là dạng đề thường gặp trong các đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn toán. Vì vậy hôm nay Kien Guru xin giới thiệu đến các em dạng toán tìm 2 số khi biết tổng và tích của chúng. Đây là một ứng dụng của định lý Viet trong phương trình bậc hai một ẩn số. Phương pháp là gì? Ứng dụng như thế nào? Mời các bạn xem qua:

Lý thuyết được áp dụng trong bài toán tìm 2 số khi biết tổng và tích.

1. Định lý Viet.

Cho phương trình bậc hai một ẩn số: ax2+bx+c=0 (a≠0). Gọi x1, x2 là 2 nghiệm của phương trình trên thì:

Lưu ý: trong một số trường hợp đặc biệt của phương trình bậc hai, dựa vào hệ thức Viet ta dễ dàng suy ra nghiệm, cụ thể:

– Trường hợp a+b+c=0 có 1 nghiệm x1=1, nghiệm còn lại là x2=c/a– Trường hợp a-b+c=0 có 1 nghiệm x1=-1, nghiệm còn lại là x2= -sự thay đổi

2. Định lý Vietet ngược.

Giả sử hai số u và v thỏa mãn:

thì hai số u, v là nghiệm của phương trình bậc hai 2: x2-Sx+P=0

Điều kiện để tồn tại hai số u và v là: S2-4P≥0

Bài tập minh họa tìm 2 số khi biết tổng và tích.

Bài tập Tìm 2 số biết tổng và tích.

Cùng giải một số bài tập tìm 2 số khi biết tổng và tích:

Bài 1: Giải u, v:

1. u+v = 14, uv = 40
2. u+v=-5, uv=-25
3. u+v=10, uv=26

Hướng dẫn:

Chúng tôi đặt S=u+v, P=uv.

1. S2-4P=142-4,40=36≥0

suy ra u, v là nghiệm của phương trình: x2-14x+40=0

Giải phương trình trên, được x1=10, x2=4

Ta nhận thấy hai số u và v có vai trò như nhau nên ta có đáp án:

2. S2-4P=(-5)2-4.(-25)=125≥0

suy ra u, v là nghiệm của phương trình x2+5x-25=0

Giải pháp được tìm thấy:

Ta nhận thấy hai số u và v có vai trò như nhau nên ta có đáp án:

3. S2-4P=(10)2-4,26=-4<0

Do đó không tồn tại hai số u và v thỏa mãn điều kiện tổng tích ban đầu.

Trên đây là dạng toán cơ bản nhất, mời các bạn tham khảo thêm dạng toán nâng cao về Giải bài toán Tìm 2 số khi biết tổng và tích

Bài 2: Tìm hai số u, v biết rằng:

1. u+b=9 và u2+v2=41
2. uv=5 và uv=36
3. u2+v2=61 và uv=60

Hướng dẫn:

Các bài dạng này không cho trực tiếp các giá trị tổng, tích. Do đó hướng xử lý là ta phải biến đổi các biểu thức ban đầu thành tổng các tích rồi tìm tổng các tích của chúng. Đặc biệt:

Đặt S=u+v, P=uv.

1. Từ u2+v2=41 (u+v)2-2uv=41 uv=20

trong đó S2-4P=(9)2-4.(20)=1≥0 thì u, v là nghiệm của phương trình

Vì u và v có vai trò giống nhau nên:

2. Lưu ý, uv=u+(-v)=5

Nhắc lại: uv=36 u(-v)=-36

trong đó S2-4P=(5)2-4.(-36)≥0

Vậy u, (-v) là nghiệm của:

Ta có kết quả:

3. Ta biến đổi u2+v2=61 ⇒ (u+v)2-2uv=61 ⇒ u+v=11 hoặc u+v=-11

Trường hợp 1: u+v=-11

Bây giờ S2-4P=(-11)2-4.(30)=1≥0

suy ra u, v là nghiệm của:

Vì vai trò của u và v giống nhau nên:

Trường hợp 2: u+v=11

Bây giờ S2-4P=(11)2-4.(30)=1≥0

suy ra u, v là nghiệm của:

Vì vai trò của u và v giống nhau nên:

Chú ý: biến đổi hệ để tính các giá trị của tổng S và tích P sẽ dẫn đến một dạng bài toán giải hệ phương trình là hệ đối xứng hai ẩn loại 1. Định nghĩa sau đây sẽ là được cho. và cách giải hệ này tất nhiên phụ thuộc nhiều vào khả năng biến đổi tổng S và tích P.

2. Hệ phương trình 2 ẩn đối xứng loại 1.

Hệ phương trình đối xứng 2 ẩn loại một là hệ có dạng:

Nghĩa là khi thay x theo y, y theo x thì các quan hệ không thay đổi. Ví dụ f(x,y)=x+y-2xy là một quan hệ đối xứng giữa x và y vì f(x,y)=x+y-2xy=y+x-2yx=f(y,x)

Phương pháp giải:

• Đặt điều kiện cụ thể (nếu có)
• Đặt x+y=S, xy=P (điều kiện S2-4P≥0)
• Chuyển hệ về dạng S, P. Giải để tìm S, P rồi áp dụng hệ thức Viet để tìm 2 số khi biết tích và tổng.

Một số điểm cần nhớ:

• x2+y2=S2-2P; x3+y3=S3-3SP
• Cần linh hoạt trong việc đặt ẩn phụ, đôi khi cần đặt ẩn phụ để đưa hệ thống về loại 1 đối xứng.

Ví dụ 1: Giải hệ phương trình sau:

Hướng dẫn:

Chú ý đây là hệ đối xứng loại 1, cho x+y=S, xy=P (điều kiện S2-4P≥0). Hệ thống ban đầu trở thành:

Ví dụ 2: Giải hệ:

Hướng dẫn:

Đặt t=-y. Hệ thống sau đó sẽ trở thành đối xứng của loại đầu tiên.

Đặt lại x+t=S, xt=P. Chúng tôi nhận được:

Ví dụ 3: Giải hệ phương trình sau:

Hướng dẫn:

Điều kiện: xy≠0

Rõ ràng đây là hệ phương trình đối xứng loại 1 nhưng nếu cứ để như vậy đặt S, P sẽ rất rối. Chúng tôi thực hiện các thay đổi nhỏ như sau:

Đến đây ta thấy hệ thống trở nên đơn giản hơn rất nhiều, đặt:

Chúng tôi nhận được:

Lưu ý: các bạn để ý cách chọn ẩn S, P rất quan trọng. Nếu xử lý khéo léo thì bài toán sẽ gọn hơn rất nhiều, ngược lại nếu chỉ đặt S và P mà không xét phép biến hình thì bài toán sẽ trở nên phức tạp và đôi khi sẽ đi vào ngõ cụt.

Trên đây là những tóm tắt về lý thuyết cũng như cách giải bài toán tìm 2 số khi biết tổng và tích. Hi vọng qua các ví dụ trên, các em sẽ có cái nhìn rõ ràng, mạch lạc và cách xử lý hiệu quả trong các bài toán dạng này. Đây là dạng đề rất quen thuộc, thường xuyên xuất hiện trong các đề thi, việc vận dụng tốt cách giải sẽ giúp các bạn chinh phục các bài toán. Hãy tham khảo thêm các bài viết khác trên trang Trường THPT Nguyễn Quán Nho để có thêm những bài học bổ ích. Chúc may mắn!

Bạn thấy bài viết Các Bài Toán Tìm 2 Số Khi Biết Tổng Và Tích. có khắc phục đươc vấn đề bạn tìm hiểu ko?, nếu ko hãy comment góp ý thêm về Các Bài Toán Tìm 2 Số Khi Biết Tổng Và Tích. bên dưới để Trường THPT Nguyễn Quán Nho có thể thay đổi & cải thiện nội dung tốt hơn cho các bạn nhé! Cám ơn bạn đã ghé thăm Website: thptnguyenquannho.edu.vn của Trường THPT Nguyễn Quán Nho

Nhớ để nguồn bài viết này: Các Bài Toán Tìm 2 Số Khi Biết Tổng Và Tích. của website thptnguyenquannho.edu.vn

Chuyên mục: Giáo dục