Giới hạn của dãy số – Tổng hợp lý thuyết và Bài tập

Bạn đang xem: Giới hạn của dãy số – Tổng hợp lý thuyết và Bài tập tại thptnguyenquannho.edu.vn

Key: Giới hạn của dãy số

Nhằm hỗ trợ các em học sinh trong quá trình tổng hợp lý thuyết và giải bài tập về giới hạn của dãy số, bài viết dưới đây xin gửi đến các bạn thông tin chi tiết về các kiến ​​thức quan trọng cũng như hướng dẫn thực hành. cho bạn xem bài tập.

Ôn tập toán 11 – Giới hạn của dãy số

Trước khi thực hiện các bài tập về giới hạn của dãy số, trước hết chúng ta cần hệ thống hóa những kiến ​​thức quan trọng có liên quan. Dưới đây là những lý thuyết và công thức, kiến ​​thức quan trọng cần nhớ được tổng hợp trong bài học trên mà chúng tôi muốn dành cho các bạn.

1 – Giới hạn hữu hạn của dãy số

• Ta nói rằng bất kỳ dãy (un) nào cũng có giới hạn bằng 0 khi n dần dần tiến đến dương vô cùng. Trong điều kiện giá trị |un| có thể nhỏ hơn bất kỳ số dương nào từ một số hạng trở đi. Và định nghĩa này được ký hiệu như sau:

• Ngoài ra, ta cũng có thể nói rằng một dãy (vn) bất kỳ sẽ có giới hạn là a (hoặc dần đến a) với điều kiện n → +∞ nếu Và định nghĩa này cũng có ký hiệu riêng được thể hiện như sau:

2 – Định lý giới hạn hữu hạn

• Về giới hạn hữu hạn ta có 2 định lý với định lý 1 là nếu lim un = a và lim vn = b ta sẽ có hệ thức liên hệ sau:

• Trong định lý thứ hai, chúng ta cần thỏa mãn đồng thời hai điều kiện để rút ra công thức sau:

3 – Tổng cấp số nhân lùi vô hạn

Một số nhân vô hạn (thường được viết là un) có bội số của q với |q| < 1 thì được gọi là cấp số nhân lùi vô hạn. Và tổng của cấp số nhân lùi vô hạn được biểu thị bằng công thức sau:

4 – Giới hạn của vô cực

• Ta nói rằng bất kỳ dãy (un) nào cũng có giới hạn +∞ khi n tiến dần đến +∞. Trong điều kiện (un) có thể lớn hơn mọi số dương từ số hạng nào đó trở đi. Và định nghĩa này được thể hiện bằng công thức sau:

• Ngoài ra, dãy (un) sẽ có giới hạn –∞ khi n tiến dần đến +∞ với điều kiện lim (–un) = +∞. Định nghĩa này được thể hiện qua công thức sau:

5 – Định lý liên hệ giữa giới hạn hữu hạn và giới hạn vô hạn

Mối liên hệ giữa giới hạn hữu hạn và giới hạn vô hạn được thể hiện qua ba định lý sau:

6 – Một số công thức giới hạn đặc biệt cần nhớ

Ngoài ra, để hỗ trợ quá trình tập luyện của bạn diễn ra nhanh chóng và hiệu quả hơn. Thì các em cũng nên ghi nhớ một số công thức giới hạn đặc biệt lớp 11 sau đây:

Một số công thức về giới hạn của dãy số cần nhớ.

Bài tập giới hạn dãy số

Nhằm giúp các bạn hiểu rõ hơn về lý thuyết của bài học trên cũng như biết cách vận dụng chúng vào thực tế, bài viết sẽ hướng dẫn các bạn thực hiện chi tiết bài tập về giới hạn của dãy số dưới đây.

1 – Bài 1 trang 121 SGK

Nội dung: Có 1kg chất phóng xạ là chất độc và cứ sau 24000 năm thì một nửa số chất phóng xạ này bị phân rã. Giả sử un là khối lượng chất phóng xạ còn lại sau chu kì thứ n. Vui lòng thực hiện các yêu cầu sau:

một. Tìm số hạng chung un của dãy (un) đã cho.

b. Chứng minh rằng (un) có giới hạn bằng 0. Và từ kết quả tính được ở trên, hãy cho biết sau bao nhiêu năm thì khối lượng chất phóng xạ đã cho ban đầu không còn độc đối với con người. Cho biết khối lượng chất phóng xạ không độc còn lại khi nhỏ hơn 10-6 g.

Lời giải: Ở câu a, ta tính dãy số sau mỗi chu kì bán rã để đưa ra công thức tổng quát và dùng nó để tính chu kì thứ n. Đối với câu b, ta có thể sử dụng công thức lim un khi n tiến đến âm vô cùng. Sau đó dựa vào kết quả trên ta thay số vào để tính giá trị của n thì suy ra được số năm.

2 – Bài 2 trang 121 SGK

Nội dung: Cho dãy số (un) sau thỏa mãn với n bất kỳ, chứng minh lim un = 1 .

Lời giải: Đầu tiên ta gọi un-1 với vn sau đó lấy một số dương d lớn hơn 0 tùy ý xét thỏa mãn. Sau đó dùng các công thức đã học để áp dụng và suy ra điều cần chứng minh. Bạn có thể tham khảo lời giải chi tiết của bài toán này dưới đây:

Bài tập liên quan thường gặp.

3 – Bài 3 trang 121 SGK

Nội dung: Cho các giới hạn sau và tìm giới hạn của dãy số tương ứng.

Lời giải: Trong bài tập này ta chủ yếu vận dụng các công thức đã tổng hợp ở trên. Ngoài ra, cũng cần lưu ý về công thức cho các trường hợp đặc biệt của dãy số. Các bạn có thể tham khảo chi tiết cách giải các bài toán trên dưới đây:

4 – Bài 4 trang 122 SGK

Nội dung: Để trang trí căn hộ của mình, một con chuột quyết định tô màu một miếng dán hình vuông có cạnh là 1. Và con chuột đã bôi xám các ô vuông nhỏ được đánh số lần lượt là 1, 2. 3,…, n,…, Sao cho cạnh hình vuông sau bằng nửa cạnh hình vuông trước. Giả sử quá trình tô màu này diễn ra vô thời hạn với un là diện tích của ô vuông màu xám thứ n. Hãy tính toán các yêu cầu dưới đây:

1. Sử dụng các công thức đã học để tính u1, u2, u3 và un.
2. Tính lim Sn biết Sn = u1 + u2 + u3 +…+ un.

Giải: Đầu tiên ta gọi độ dài cạnh hình vuông là a ta được cạnh hình vuông sau bằng nửa cạnh hình vuông trước. Tức là diện tích của chúng bằng 1/4 diện tích của hình vuông trước đó. Sau đó, chúng tôi thay thế số để có được diện tích của hình vuông đầu tiên. Tiếp theo hãy áp dụng các công thức cụ thể được hướng dẫn chi tiết dưới đây.

5 – Bài 5 trang 122 SGK

Nội dung: Tính tổng của dãy số đã cho dưới đây:

Lời giải: Trong bài học này, chúng ta cần nhớ công thức mũ (un) có công bội q với |q| < 1 thì được gọi là cấp số nhân lùi vô hạn. Sau đó, tổng của chúng được tính theo công thức:

. Bạn có thể tham khảo lời giải chi tiết của bài toán này dưới đây:

Một số bài tập liên quan khác.

Phần kết luận

Giới hạn của dãy số có rất nhiều nội dung và công thức quan trọng các bạn cần chú ý và chúng đã được hệ thống hóa ở trên. Bên cạnh đó, để có thể hiểu và vận dụng tốt các công thức này, việc đầu tiên bạn cần làm là thực hiện các bài tập liên quan. Ngoài ra các bạn có thể thực hiện các bài tập nâng cao khác để tăng khả năng tư duy logic với bài học cuối cùng.

Trên đây là những kiến ​​thức tổng hợp về giới hạn của dãy số cũng như hướng dẫn chi tiết giúp các bạn thực hiện các bài tập liên quan. Hi vọng với những thông tin hữu ích trên có thể giúp ích cho các bạn trong quá trình hệ thống hóa kiến ​​thức liên quan và vận dụng tốt nhất vào bài tập của mình.

Bạn thấy bài viết Giới hạn của dãy số – Tổng hợp lý thuyết và Bài tập có khắc phục đươc vấn đề bạn tìm hiểu ko?, nếu ko hãy comment góp ý thêm về Giới hạn của dãy số – Tổng hợp lý thuyết và Bài tập bên dưới để Trường THPT Nguyễn Quán Nho có thể thay đổi & cải thiện nội dung tốt hơn cho các bạn nhé! Cám ơn bạn đã ghé thăm Website: thptnguyenquannho.edu.vn của Trường THPT Nguyễn Quán Nho

Nhớ để nguồn bài viết này: Giới hạn của dãy số – Tổng hợp lý thuyết và Bài tập của website thptnguyenquannho.edu.vn

Chuyên mục: Giáo dục