Lý thuyết và bài tập về tính đơn điệu của hàm số – Đầy đủ và Dễ hiệu

Tính đơn điệu của hàm số là một phần quan trọng trong chương trình toán học. Để củng cố kiến ​​thức trên lớp và giải bài tập để tự luyện tập ở nhà, mời bạn đọc tham khảo bài viết dưới đây!

Chúc may mắn với khóa học của bạn.

tính đơn điệu của hàm

Lý thuyết về tính đơn điệu của hàm số

1. Định nghĩa

D là một khoảng, một đoạn hoặc nửa khoảng.

Giả sử hàm số y=f(x) xác định trên D

• Hàm số y=f(x) được gọi là đồng biến trên miền D khi và chỉ khi ⇔∀x1,x2∈D và x1
• Hàm số y=f(x) được gọi là nghịch biến trên miền D khi và chỉ khi ⇔∀x1,x2∈D và x1f(x2).

2. Định lý

Giả sử y=f(x) có đạo hàm trên khoảng (a;b) thì:

• Nếu f′(x)>0, ∀x∈(a;b) ⇒ hàm số f(x) sẽ đồng biến trên khoảng (a;b).
• Nếu f′(x)<0, ∀x∈(a;b) ⇒ hàm số f(x) sẽ nghịch biến trên khoảng (a;b).
• Nếu f(x) đồng biến trên khoảng (a;b) ⇒f′(x)≥0, ∀x∈(a;b).
• Nếu f(x) nghịch biến trên khoảng (a;b) ⇒f′(x)≤0, ∀x∈(a;b).

Khoảng (a;b) gọi chung là khoảng đơn điệu của hàm số.

Ghi chú:

Nếu f'(x)=0, ∀x∈(a;b) thì f(x) không đổi tên thành (a;b).

Nếu biến khoảng (a;b) một đoạn hoặc nửa khoảng thì phải bổ sung thêm giả thiết hàm số liên tục trên đoạn hoặc nửa khoảng đó.

2. Điều kiện cần để hàm số đơn điệu

Cho hàm số f có đạo hàm trên K.

• Nếu f đồng biến trên K thì f'(x) ≥ 0 với mọi x ∈ K.
• Nếu f nghịch đảo trên K thì f'(x) ≤ 0 với mọi x ∈ K.

3. Điều kiện đủ để hàm số đồng biến

Cho hàm số f có đạo hàm trên K.

• Nếu f'(x) > 0 với mọi x ∈ K thì f đồng biến trên K.
• Nếu f'(x) < 0 với mọi x ∈ K thì f nghịch đảo trên K.
• Nếu f'(x) = 0 với mọi x ∈ K thì f là một hàm hằng trên K.

4. Định lý mở rộng

Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm trên K.

a) f'(x)0 x K và f'(x)=0 đồng biến tại một số hữu hạn điểm của K thì f(x) đồng biến trên K.

b) f'(x)0 x K và f'(x)=0 xảy ra tại một số hữu hạn điểm của K thì f(x) nghịch biến trên K.

5. Quy tắc xét tính đơn điệu của hàm số

• Tìm tập xác định của hàm số.
• Tính đạo hàm f'(x). Tìm xi(i=1,2,3,….,n) trong đó đạo hàm f'(x)=0 hoặc không xác định.
• Sắp xếp các điểm xi theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên.
• Phần kết luận.

6. Các dạng bài tập về tính đơn điệu của hàm số

Dạng 1: Tìm khoảng nghịch biến – đồng biến của hàm số

Phương pháp giải:

Cho hàm số y=f(x)

• f'(x)>0 khi hàm y=f(x) đồng biến tại đó.
• f'(x)<0 trong đó hàm số y=f(x) nghịch biến.

Qui định:

• Tính f'(x), giải phương trình f'(x)=0 và tìm nghiệm.
• Lập bảng kí hiệu của f'(x).
• Nhìn vào bảng điểm và rút ra kết luận.

Dạng 2: Đọc khoảng đơn điệu của hàm số bằng đồ thị cho trước

Phương pháp giải:

Nếu bài toán đưa ra đồ thị y=f(x), chúng ta có thể xem các khoảng tăng hoặc giảm.

• Khoảng thời gian mà đồ thị đi lên là hàm đồng biến.
• Khoảng mà đồ thị đi xuống là hàm nghịch biến.

Nếu đề bài cho đồ thị y=f'(x), ta lập bảng biến thiên của hàm số y=f(x) như sau:

• Tìm nghiệm của f'(x)=0.
• Hãy nhìn kỹ f'(x) (phần trên của 0x mang dấu dương, phần dưới của 0x mang dấu âm).
• Lập bảng biến thiên của y=f(x) rồi rút ra kết luận.

Dạng 3: Tìm m để hàm số y=ax+bcx+d đơn điệu trên mỗi khoảng xác định

Phương pháp giải:

Tính y’=ax+b(cx+d)2

• Hàm sẽ đồng biến trên từng khoảng xác định của nó y’>0ad-cb>0.
• Hàm số sẽ nghịch biến trên từng khoảng xác định y’<0ad-cb<0.

Dạng 4: Tìm m để hàm số y=ax3+bx2+cx+d đơn điệu trên

• Hàm số đồng biến trên ℝ thì y’0, xℝ a>0 và y’0 hoặc suy biến a=0, b=0 và c>0.
• Hàm số nghịch biến trên ℝ thì y’0, xℝ a<0 và y'0 hoặc suy biến a=0, b=0 và c<0.

Dạng 5: Tìm tham số m để hàm số lượng giác đơn điệu trên một khoảng cho trước

Dạng 6: Tìm khoảng đơn điệu khi biết đồ thị của hàm số f'(x)

• Dạng 1: Cho đồ thị y=f'(x), tính đơn điệu của hàm số y=f(x).
• Dạng 2: Cho đồ thị hàm số y=f'(x), tính đơn điệu của hàm số y=f(u).
• Dạng 3: Cho đồ thị y=f'(x), tính đơn điệu của hàm hợp y=g(x), trong đó g(x) liên quan đến f(x).

Dạng 7: Biện luận về tính đơn điệu của hàm số đa thức trên khoảng

• Dạng 1: Tìm điều kiện của tham số để hàm số y=ax3+bx2+cx+d đơn điệu trên ℝ.
• Dạng 2: Tìm điều kiện của tham số để hàm số y=ax3+bx2+cx+d đơn điệu trên khoảng ℝ.
• Dạng 3: Tìm điều kiện của tham số để hàm số y=ax4+bx2+c đơn điệu trên khoảng con của ℝ.

Bài tập về tính đơn điệu của hàm chọn sgk

1 – Bài 1 trang 9 SGK giải tích 12

Xét sự đồng biến, nghịch biến của các hàm số: a) y=4+3x−x2;b) y=13×3 + 3×2−7x−2;

Hướng dẫn giải:

a) Tập xác định: D=R.

Có y′=3−2x⇒y′=0 ⇔3−2x=0 ⇔x= .

Bảng biến thiên:

Vậy hàm số sẽ đồng biến trên khoảng (−∞;) và nghịch biến trên khoảng (;+∞).

b

y= x3+3×2−7x−2

Tập xác định: D=R.

Có y′=x2+6x−7 y′=0 x2+6x−7=0⇒y′=0

Bảng biến thiên:

Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng (−∞; −7) và (1;+∞).

Hàm số nghịch biến trên (−7;1) .

c) y=x4−2×2+3

Tập xác định: D=R.

Có y′=4×3−4x y′=0 4×3−4x=0

⇔4x(x2−1)=0

Bảng biến thiên:

Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng (−1; 0) và (1;+∞).

Hàm số nghịch biến trên các khoảng (−∞; −1) và (0; 1).

d) y= −x3+x2−5

Tập xác định: D=R.

Có y′=−3×2+2x ⇒y′=0⇔−3×2+2x=0

Bảng biến thiên:

Vậy hàm số đồng biến trên khoảng (0; ).

Hàm số nghịch biến trên các khoảng (−∞;0) và (;+∞).

2 – Bài 2 trang 10 SGK giải tích 12

Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số: a) y=

b)y=

c) y=

d) y=

Hướng dẫn giải:

a) Tập xác định: D = R\{ 1 }

.

Hàm số đồng biến trên các khoảng : (-∞ ; 1), (1 ; +∞).

b) Tập xác định : D = R\{ 1 }.

Hàm số nghịch biến trên các khoảng : (-∞ ; 1), (1 ; +∞).

c) Tập xác định: D = (-∞ ; -4]∪ [5 ; +∞).

Với x ∈ (-∞ ; -4) thì y’ < 0; với x ∈ (5 ; +∞) thì y’ > 0. Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng (-∞ ; -4) và đồng biến trên khoảng (5 ; +∞).

d) Tập xác định : D = R\{ -3 ; 3 }.

Hàm số nghịch biến trên các khoảng : (-∞ ; -3), (-3 ; 3), (3 ; +∞).

3 – Bài 3 trang 10 sgk giải tích 12.

Hãy chứng minh rằng hàm số  

sẽ  đồng biến trên khoảng (-1 ; 1) và nghịch biến trên các khoảng (-∞ ; -1) và (1 ; +∞).

Hướng dẫn giải:

 Tập xác định : D = R.

⇒ y’ = 0 ⇔ x=-1 hoặc x=1.

Bảng biến thiên :        

Vậy hàm số đồng biến trên khoảng (-1 ; 1); nghịch biến trên các khoảng (-∞ ; -1), (1 ; +∞).

4 – Bài 4 trang 10 sgk giải tích 12.

Hãy chứng minh rằng hàm số

 đồng biến trên khoảng (0 ; 1) và nghịch biến trên các khoảng (1 ; 2).

Hướng dẫn giải:

 Tập xác định : D = [0 ; 2];

, ∀x ∈ (0 ; 2); y’ = 0 ⇔ x = 1.

Bảng biến thiên:

Vậy hàm số đồng biến trên khoảng (0 ; 1) và nghịch biến trên khoảng (1 ; 2).

5 – Bài 5 trang 10 SGK giải tích 12.

Hãy chứng minh các bất đẳng thức sau:

a) tanx > x (0 < x < ;

b) tanx > x +x3/3 (0 < x <).

Hướng dẫn giải:

a) Ta xét hàm số y = f(x) = tanx–x với x ∈[0;)[0;)[0;)[0; )

Ta có: y’ = – 1 ≥ 0, x ∈[0;);y’=0⇔x=0Sothefunctionisalwayscovariateon[0;)[0;);y’=0⇔x=0Hàmsốluônluônbiếntrên[0;)[0;);y’=0⇔x=0Sothefunctionisalwayscovariateon[0;)[0;);y’=0⇔x=0Vậyhàmsốđóluônđồngbiếntrên[0;)

Vì ∀x ∈ (0 😉, nên f(x) > f(0) ⇔ tanx – x > tan 0 – 0 = 0 hoặc tanx > x.

b) Ta xét hàm số y = g(x) = tanx – x – . với x ∈[0;)[0;)[0;)[0; )

Ta có: y’ = – 1 – x2 = 1 + tan2x – 1 – x2 = tan2x – x2

= (tanx – x)(tanx + x), ∀x ∈[0;)[0;)[0;)[0; )

Vì ∀x ∈[0;)sotanx+x≥0andtanx-x>0(theocâua)[0;)nêntanx+x≥0vàtanx–x>0(theocâua)[0;)sotanx+x≥0andtanx-x>0(accordingtosentencea)[0; )nên tanx+x ≥0và tanx–x>0(theocâua)

Do đó y’ ≥ 0, ∀x ∈[0;)Itiseasytoseethaty’=0⇔x=0Theođóhàmluônđồngbiếntrên[0;)Từđó:∀x∈[0;)theng(x)>g(0)[0;)Haythấyy’=0⇔x=0Suyrahàmsốluônluônbiếnbiến[0;)Từđó:∀x∈[0;)thìg(x)>g(0)[0;)Itiseasytoseethaty’=0⇔x=0Itfollowsthatthefunctionisalwayscovariateon[0;)Fromthere:∀x∈[0;)theng(x)>g(0)[0; ) Dễthấyy’=0 ⇔x=0Suyrahàmsốđóluônđồngbiếntrên[0; )Từđó: ∀x∈[0;)thìg(x)>g(0)

⇔ tanx – x – >( tan 0 – 0 – 0) = 0

Suy ra tanx > x + .

Trên đây là nội dung tóm tắt lý thuyết và cách giải một số dạng bài tập về Tính đơn điệu của hàm số – chương trọng điểm. Học sinh cần nắm vững kiến ​​thức của chương này.

Nhằm giúp các em nắm vững kiến ​​thức trên lớp và có thể tự học ở nhà, chúng tôi đưa ra lời giải chi tiết nhất, bám sát chương trình học. Chúc các bạn học tập tốt và đạt kết quả tốt trong môn học này.

Bạn thấy bài viết Lý thuyết và bài tập về tính đơn điệu của hàm số – Đầy đủ và Dễ hiệu có khắc phục đươc vấn đề bạn tìm hiểu ko?, nếu ko hãy comment góp ý thêm về Lý thuyết và bài tập về tính đơn điệu của hàm số – Đầy đủ và Dễ hiệu bên dưới để Trường THPT Nguyễn Quán Nho có thể thay đổi & cải thiện nội dung tốt hơn cho các bạn nhé! Cám ơn bạn đã ghé thăm Website: thptnguyenquannho.edu.vn của Trường THPT Nguyễn Quán Nho

Nhớ để nguồn bài viết này: Lý thuyết và bài tập về tính đơn điệu của hàm số – Đầy đủ và Dễ hiệu của website thptnguyenquannho.edu.vn

Chuyên mục: Giáo dục