Phương pháp quy nạp toán học – Chi tiết Kiến thức và Bài tập

Bạn đang xem: Phương pháp quy nạp toán học – Chi tiết Kiến thức và Bài tập tại thptnguyenquannho.edu.vn

Phương pháp quy nạp toán học đóng vai trò vô cùng quan trọng trong môn Đại số lớp 11, cũng như được ứng dụng rộng rãi vào đời sống. Vì vậy, sinh viên cần nắm vững kiến ​​thức này để có thể hoàn thành tốt khóa học và áp dụng vào thực tế.

Lý thuyết phương pháp quy nạp toán học lớp 11

Để chứng minh một mệnh đề đúng với mọi n∈N∗ bằng quy nạp toán học, ta sẽ thực hiện các bước sau:

Bước 1: Kiểm tra xem mệnh đề có đúng với n=1 không.

Bước 2: Giả sử mệnh đề trên đúng với n=k≥1 (giả thiết quy nạp).

Bước 3: Cần chứng minh mệnh đề đúng với n=k+1

Chú ý: Trường hợp ta chứng minh một mệnh đề đúng với mọi số tự nhiên n≥p (p là số tự nhiên) thì thuật toán là:

Bước 1: Kiểm tra xem mệnh đề có đúng với n=p

Bước 2: Giả sử mệnh đề trên đúng với n=k≥1 (giả thiết quy nạp)

Bước 3: Cần chứng minh mệnh đề đúng với n=k+1

Bài tập áp dụng quy nạp toán học

1 – Bài 1 trang 82 SGK Hãy chứng minh với n ∈ ℕ* ta có đẳng thức:

a) 2 + 5 + 8 + … + 3n – 1 =

b)

c) 12+ 22+32+…+n2 =

Hướng dẫn giải:

Với n = 1, vế trái chỉ có một số hạng là 2, vế phải bằng (3+1)/2 = 2

Vậy VT = VP => HTa) đúng với n = 1.

Gọi VT là Sn.

Giả sử rằng đẳng thức a) sẽ đúng với n = k 1, nghĩa là,

a) Nếu đúng với n = k + 1 thì:

Từ giả thiết quy nạp, ta có:

(điều cần chứng minh)

=> HT a) đúng với mọi n N*

b) Với n = 1, vế trái bằng 1/2, vế phải cũng bằng 1/2 nên hệ thức đúng.

Gọi VT là Sn.

Giả sử rằng HT b) đúng với n = k 1, nghĩa là,

tôi cần phải chứng minh

Thật vậy, từ giả thiết quy nạp, ta có:

(PCM)

=> HT b) đúng với mọi n ∈ N*

c) Với n = 1 thì vế trái bằng 1, vế phải bằng 1(1+1)(2+1)/6 = 1 nên => hệ thức c) đúng với n = 1.

Gọi VT là Sn.

Giả sử rằng mối quan hệ c) sẽ đúng với n = k 1, nghĩa là,

tôi cần phải chứng minh

Thật vậy, từ giả thiết quy nạp ta có:

(đpcm)

• HT c) đúng với mọi n N*

2 – Bài 2 trang 82 SGK Hãy chứng minh rằng với n ε N* ta có:

a) n3 + 3n2 + 5n sẽ chia hết cho 3;

b) 4n + 15n–1 sẽ chia hết cho 9;

c) n3 + 11n chia hết cho 6.

Hướng dẫn giải:

a) Đặt Sn = n3 + 3n2 + 5n

Với n = 1 ta có S1 = 9 chia hết cho 3

Giả sử với n = k ≥ 1, ta có Sk = (k3 + 3k2 + 5k)3

Ta cần chứng minh rằng Sk+1 3

Thật vậy Sk+1 = (k + 1)3 + 3(k + 1)2 + 5(k + 1) = k3 + 3k2 + 3k + 1 + 3k2 + 6k + 3 + 5k + 5

=> k3 + 3k2 + 5k + 3k2 + 9k + 9

hoặc Sk+1 = Sk + 3(k2 + 3k + 3)

Theo giả thiết quy nạp ta có Sk⋮3, ngược lại 3(k2 + 3k + 3)⋮3 nên Sk+1 ⋮3.

Vậy (n3 + 3n2 + 5n) ⋮ 3 với mọi n ∈ N* .

b) Đặt Sn = 4n + 15n – 1

Với n = 1, S1 = 41 + 15.1 – 1 = 18 nên S1 ⋮9

Giả sử với n = k ≥ 1 thì Sk= 4k + 15k – 1 chia hết cho 9.

Ta phải chứng minh Sk+1 ⋮ 9.

Ta được: Sk+1 = 4k + 1 + 15(k + 1) – 1 = 4(4k + 15k – 1) – 45k + 18 = 4Sk – 9(5k – 2)

Theo giả thiết quy nạp, Sk 9 nên 4S1 9, ngược lại 9(5k – 2) 9 nên Sk+1 9

Vậy (4n + 15n – 1) 9 với mọi n ∈ N*

c) Đặt Sn = n3 + 11n

Với n = 1 ta có S1 = 13 + 11n = 12 nên S1 ⋮ 6

Giả sử với n = k 1 , ta có Sk = k3 + 11k 6

Ta phải chứng minh Sk+1 6

Thật vậy, ta có Sk+1 = (k + 1)3 + 11(k + 1) = k3 + 3k + 3k + 1 + 11k + 11

= ( k3 + 11k) + 3(k2 + k + 4) = Sk + 3(k2 + k + 4)

Theo giả thiết quy nạp thì Sk 6, ngược lại k2 + k + 4 = k(k + 1) + 1 là số chẵn nên suy ra

3(k2 + k + 4) 6 nên Sk+1 ⋮ 6

Vậy n3 + 11n chia hết cho 6 với mọi n ∈ N*

3 – Bài 3 trang 82 sgk Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ≥ 2 ta có các bất phương trình:

a) 3n ​​> 3n + 1; b) 2n + 1 > 2n + 3

Hướng dẫn giải:

a) Ta có bất đẳng thức đúng với n = 2

Giả sử chúng ta có bất đẳng thức đúng với n = k 2, nghĩa là,

3k > 3k + 1 (1)

Ta nhân cả hai vế của (1) với 3 ta được:

3k + 1 > 9k + 3 ⇔ 3k + 1 > 3k + 4 + 6k -1.

Vì 6k – 1 > 0 => 3k + 1 > 3k + 4 hoặc 3k + 1 > 3(k + 1) + 1.

tức là bất đẳng thức giữ cho n = k + 1.

Vậy 3n > 3n + 1 với mọi số tự nhiên n ≥ 2.

b) Với n = 2, vế trái sẽ là 8 và vế phải sẽ là 7. Vậy bất đẳng thức sẽ đúng với n = 2

Giả sử bất đẳng thức đúng với n = k 2, tức là 2k + 1 > 2k + 3 (2)

Ta cần chứng minh rằng nó cũng đúng với n= k + 1, nghĩa là:

2k + 2 > 2(k + 1) + 3 <=> 2k + 2 > 2k + 5

Ta nhân cả hai vế của bất đẳng thức (2) với 2, ta được:

2k + 2 > 4k + 6 ⇔ 2k + 2 > 2k +5 + 2k + 1.

Vì 2k + 1 > 0 nên 2k + 2 > 2k + 5

Vậy 2n + 1 > 2n + 3 với mọi số tự nhiên n ≥ 2.

4 – Bài 4 trang 83 SGK Tính tổng

với n N*

a) Tính S1, S2, S3.

b) Dự đoán công thức tính tổng Sn và chứng minh bằng pp quy nạp.

Hướng dẫn giải:

a) Ta có:

b) Từ a) chúng ta dự đoán Sn=n/(n+1) (1), với mọi n ∈ N* .

Khi n = 1, vế trái là S1 = 1/2, vế phải là 1/(1+1)=1/2. Vậy phương trình (1) đúng.

Giả sử đẳng thức (1) đúng với n = 1, nghĩa là,

Ta phải chứng minh nó cũng đúng khi n = k + 1, tức là ta phải chứng minh

Chúng ta có

• đẳng thức (1) sẽ đúng với n = k + 1.

5 – Bài 5 trang 83 sgk Chứng minh rằng số đường chéo của một đa giác lồi n cạnh là

Hướng dẫn giải:

Ta cần chứng minh khẳng định đúng với mọi n ∈ N* , n ≥ 4.

Với n = 4 ta được tứ giác => có hai đường chéo.

Mặt khác khi thay n = 4 vào công thức ta được số đường chéo của tứ giác theo công thức: 4(4-3)/2 = 2

Giả sử khẳng định đúng với n = k 4, tức là một đa giác lồi k cạnh có số đường chéo k(k – 3)/2

Ta cần chứng minh khẳng định đúng với n = k + 1. => ta phải chứng minh đa giác lồi k+1 cạnh có số đường chéo

Xét đa giác lồi k + 1 cạnh

Nối A1 với Ak ta được đa giác k cạnh A1A2Ak có k(k-3)/2 đường chéo (theo giả thiết quy nạp). Nối Ak+1 với các đỉnh A2, A3, …, Ak-1 ta được k -2 đường chéo, ngoài ra A1Ak cũng là một đường chéo.

Vậy số đường chéo của đa giác k + 1 cạnh là

Trên đây là một số hướng dẫn cung cấp cho học sinh những lý thuyết cơ bản nhất và cách giải các bài tập sách giáo khoa. Phương pháp quy nạp toán học là một dạng toán phổ biến, có thể áp dụng vào thực tế. Vì vậy, các em tham khảo để có thể hoàn thành khóa học này một cách tốt nhất.

Bạn thấy bài viết Phương pháp quy nạp toán học – Chi tiết Kiến thức và Bài tập có khắc phục đươc vấn đề bạn tìm hiểu ko?, nếu ko hãy comment góp ý thêm về Phương pháp quy nạp toán học – Chi tiết Kiến thức và Bài tập bên dưới để Trường THPT Nguyễn Quán Nho có thể thay đổi & cải thiện nội dung tốt hơn cho các bạn nhé! Cám ơn bạn đã ghé thăm Website: thptnguyenquannho.edu.vn của Trường THPT Nguyễn Quán Nho

Nhớ để nguồn bài viết này: Phương pháp quy nạp toán học – Chi tiết Kiến thức và Bài tập của website thptnguyenquannho.edu.vn

Chuyên mục: Giáo dục