Tổng hợp lý thuyết và bài tập về cực trị của hàm số

Bạn đang xem: Tổng hợp lý thuyết và bài tập về cực trị của hàm số tại thptnguyenquannho.edu.vn

Tổng hợp các kiến ​​thức về cực trị của hàm số và lời giải chi tiết các bài tập dưới đây nhằm cung cấp cho các em học sinh những lý thuyết cần thiết đối với môn Toán. Mời các bạn cùng theo dõi và tham khảo để có thể hiểu được môn học này một cách chi tiết và dễ nhớ nhất.

I. Kiến thức cần nhớ về cực trị của hàm số

1. Định nghĩa

Cho hàm số y= f ( x ) liên tục trên khoảng ( a;b ) và điểm x0 thuộc ( a;b )

Nếu tồn tại số h > 0 sao cho f ( x ) < f ( x0 ) ∀x(x0-h; x0+h ), x ≠ x0 thì ta nói hàm số f đạt cực đại tại x0

Nếu tồn tại số h > 0 sao cho f ( x ) > f ( x0 ) ∀x(x0-h; x0+h ), x ≠ x0 thì ta nói hàm số f đạt cực tiểu tại x0.

Chú ý:

Nếu y= f ( x ) có đạo hàm trên khoảng ( a;b ) và có giá trị cực trị tại x0 ϵ ( a;b ), thì fʹ x0 =0

2. Điều kiện đủ để hàm số có một cực trị

Định lý 1: Cho hàm số y= fx liên tục trên khoảng K= x0-h; x0+h ( h<0 ) và có đạo hàm trên K hoặc trên K \ x0 .

  • Nếu đạo hàm của hàm số y= fx lớn hơn 0 với mọi x trong khoảng (x0-h; x0 ) và đạo hàm của hàm số y= fx nhỏ hơn 0 với mọi x trong khoảng (x0 ; x0+ h ) thì hàm số nhận x0 làm điểm cực đại.
  • Nếu đạo hàm của hàm số y= fx nhỏ hơn 0 với mọi x trong khoảng (x0-h; x0 ) và đạo hàm của hàm số y= fx lớn hơn 0 với mọi x trong khoảng (x0 ; x0+ h ) thì hàm số nhận x0 làm điểm cực tiểu.

Tại những điểm chưa biết đạo hàm của hàm số thì hàm số có thể đạt cực đại.

Định lý 2: Giả sử hàm số y= fx có đạo hàm cấp hai trong khoảng x0-h; x0+h ( h>0 )

Khi giá trị của đạo hàm cấp một của x0=0 và giá trị của đạo hàm cấp hai của x0>0 thì hàm số nhận x0 làm điểm cực tiểu.

Khi giá trị của đạo hàm cấp một của x0=0 và giá trị của đạo hàm cấp hai của x0<0 thì hàm số nhận x0 làm điểm cực đại.

3. Quy tắc tìm cực trị của hàm số

Phương pháp tìm cực trị của hàm số: Có thể sử dụng một trong hai quy tắc sau:

Quy tắc 1: (Suy ra từ Định lý 1)

Bước 1: Xác định tập xác định của hàm số đó.

Bước 2: Tìm đạo hàm của hàm số đó và tìm các điểm mà hàm số bằng 0 hoặc không xác định.

Bước 3: Dựa vào các giá trị trên, lập bảng biến thiên và rút ra kết luận

  • Điểm cực tiểu của hàm số là điểm mà tại đó đạo hàm của hàm số đó đổi dấu từ âm sang dương.
  • Điểm cực tiểu của hàm số là điểm mà tại đó đạo hàm của hàm số đó đổi dấu từ dương sang âm.

II. Ứng dụng trong giải bài tập cực trị của hàm số SGK

1. Bài 1 SGK trang 18

Dựa vào Quy tắc 1 để tìm cực trị của hàm số, hãy tìm cực trị của các hàm số sau:

hình ảnh từ 24648 2

Hướng dẫn giải:

hình ảnh từ 24648 3

Ta có bảng biến thiên của hàm số dưới đây:

hình ảnh từ 24648 4

Tại x = -3 hàm số đạt cực đại và giá trị lớn nhất là y = 71

Tại x = 2 thì hàm số có cực tiểu và giá trị cực tiểu là y = – 54

hình ảnh từ 24648 5

Ta được bảng biến thiên của hàm số dưới đây

hình ảnh từ 24648 6

Tại x = 0 hàm số có cực tiểu và giá trị cực tiểu là y = -3

hình ảnh từ 24648 7

Ta có bảng biến thiên của hàm số dưới đây:

hình ảnh từ 24648 8

Tại x = -1 thì hàm số đạt cực đại và giá trị lớn nhất của nó là y = -2

Tại x = 1 thì hàm số có cực tiểu và giá trị cực tiểu là y = 2

Bộ xác định: DỄ DÀNG

hình ảnh từ 24648 9

hình ảnh từ 24648 10

Khi y’=0 => Có 3 giá trị x là x=0, x=3/5, x=1

Bảng biến thiên:

hình ảnh từ 24648 11

Suy ra hàm số này đạt cực đại tại x = 3/5, ycđ =y(3/5) = 108/3125 ;

Suy ra hàm này có cực tiểu tại x = 1 , yct = y(1) = 0

e) Tập xác định: D=R. https://dethikiemtra.com/wp-content/uploads/2015/09/dapan1e.png

Bảng biến thiên: https://dethikiemtra.com/wp-content/uploads/2015/09/bangbienthien1e.png

Hàm này đạt cực tiểu tại x=1/2; y = 3/2

2. Bài 2 SGK trang 18

Áp dụng Quy tắc II và tìm các cực trị của hàm số sau:

hình ảnh từ 24648 14

Hướng dẫn giải:

a) y’ = 4×3 – 4x = 4x(x2 – 1) ; y’ = 0 ⇔ 4x(x2 – 1) = 0 ⇔ x = 0, x = ±1.

y” = 12×2 – 4 . y”(0) = -4 < 0 so it follows that the function will reach its maximum value at x = 0, ycđ = y(0) = 1. y”(±1) = 8 > 0

=> hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại x =±1 với yct = y(±1) = 0.

b) y’ = 2cos2x – 1 ;https://dethikiemtra.com/wp-content/uploads/2015/09/bai2_b.png

y” = -4sin2x .

https://dethikiemtra.com/wp-content/uploads/2015/09/1-1.png

hình ảnh từ 24648 17

3. Bài 3 SGK trang 18

Chứng minh rằng hàm số y = hình ảnh từ 24648 18

không có đạo hàm tại x = 0 nhưng vẫn có cực tiểu tại điểm đó.

Hướng dẫn giải:

Đặt y =f(x) = hình ảnh từ 24648 19

. Giả sử x > 0, ta có:

hình ảnh từ 24648 20

Suy ra hàm số không có đạo hàm tại x = 0 . Nhưng hàm số đạt cực tiểu tại x = 0 vì f(x) = hình ảnh từ 24648 21

≥ 0 =f(0) x ∈ R

4. Bài 4 SGK trang 18

Chứng minh rằng với mọi giá trị của tham số m hàm số y = x3 – mx2 – 2x + 1 luôn có cực đại và cực tiểu.

Hướng dẫn giải:

y’ = 3×2 – 2mx – 2 , ∆’ = m2 + 6 > 0 nên y’ = 0 sẽ có hai nghiệm phân biệt và y’ đổi dấu khi đi qua các nghiệm đó.

Vậy hàm số đó có cực đại và cực tiểu.

5. Bài 5 SGK trang 18

Tìm a và b để các cực trị của hàm số y = 5/3a2x3 + 2ax2 – 9x + b đều là số dương và x0= -5/9 là cực đại.

Hướng dẫn giải:

Ta có a = 0 => hàm số sẽ trở thành y = -9x + b.

– Xét a # 0. Ta có: y’ = 5a2x2 + 4ax – 9 ; y’= 0

⇔ x=-1/α hoặc x= -9/5α

– Ta có a < 0 có bảng biến thiên sau:

hình ảnh từ 24648 22

Với giả thiết x0= -5/9 là điểm cực đại thì 1/α = -5/9 ⇔α = 9/5. Yêu cầu của bài toán bao gồm: https://dethikiemtra.com/wp-content/uploads/2015/09/bai5-1.png

– Với a > 0 ta có bảng biến thiên sau:

https://dethikiemtra.com/wp-content/uploads/2015/09/H2.5.1.png

https://dethikiemtra.com/wp-content/uploads/2015/09/6.png

Vì x0= -5/9 là điểm cực đại nên

Yêu cầu của bài toán bao gồm: https://dethikiemtra.com/wp-content/uploads/2015/09/voi-a-0.png

https://dethikiemtra.com/wp-content/uploads/2015/09/dap-an-1.png

Suy ra các giá trị a, b cần tìm là: https://dethikiemtra.com/wp-content/uploads/2015/09/10.png

6. Bài 6 SGK trang 18

Xác định giá trị của tham số m để hàm số này đạt cực đại tại x = 2.

Hướng dẫn giải:

Tập xác định : D =R \{-m}

https://dethikiemtra.com/wp-content/uploads/2015/09/bai6-1.png

Nếu hàm số đạt cực đại tại x = 2 thì y'(2) = 0 m2 + 4m + 3 = 0 ⇔ m=-1 hoặc m=-3

–Với m = -1, ta có: https://dethikiemtra.com/wp-content/uploads/2015/09/7.png

https://dethikiemtra.com/wp-content/uploads/2015/09/bai6_1.png

Suy ra x=0 hoặc x=2.

Ta được bảng biến thiên sau:

https://dethikiemtra.com/wp-content/uploads/2015/09/H2.6.png

Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số không đạt cực đại tại x=2. https://dethikiemtra.com/wp-content/uploads/2015/09/8.png

– Với m = -3, ta có:

https://dethikiemtra.com/wp-content/uploads/2015/09/m-3.png

Suy ra x=2 hoặc x=4

Ta có bảng biến thiên sau:

https://dethikiemtra.com/wp-content/uploads/2015/09/H10.5.jpg

Từ bảng trên ta thấy hàm số đạt cực đại tại x = 2.

Vậy m = -3 là giá trị cần tìm.

Trên đây là tổng hợp toàn bộ kiến ​​thức về cực trị của hàm số. Các em có thể tham khảo để có được kiến ​​thức vững chắc nhất, đồng thời phát triển môn học theo mong muốn của bản thân và đạt kết quả cao. Ngoài ra các em có thể đọc thêm các bài viết cách giải các nội dung môn học khác.

Chúc may mắn cho tất cả các sinh viên.

Bạn thấy bài viết Tổng hợp lý thuyết và bài tập về cực trị của hàm số có khắc phục đươc vấn đề bạn tìm hiểu ko?, nếu ko hãy comment góp ý thêm về Tổng hợp lý thuyết và bài tập về cực trị của hàm số bên dưới để Trường THPT Nguyễn Quán Nho có thể thay đổi & cải thiện nội dung tốt hơn cho các bạn nhé! Cám ơn bạn đã ghé thăm Website: thptnguyenquannho.edu.vn của Trường THPT Nguyễn Quán Nho

Nhớ để nguồn bài viết này: Tổng hợp lý thuyết và bài tập về cực trị của hàm số của website thptnguyenquannho.edu.vn

Chuyên mục: Giáo dục

Xem thêm chi tiết về Tổng hợp lý thuyết và bài tập về cực trị của hàm số
Xem thêm bài viết hay:  Chi tiết kiến thức vật lý 7 bài 17 – Sự nhiễm điện do cọ xát

Viết một bình luận